Konu: EBOB ve EKOK - Çözümlü Sorular

[Ders Hocası]

[color=red][b]Örnek:[/b][/color] A = 2³ . 3⁵ . 5² B = 3⁴ . 5⁷ . 7⁵ EBOB (A,B) = ?  ve EKOK (A,B) = ? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] EBOB (A,B) Çarpanları verilmiş durumda ise: A ve B de ortak olanları yazarız. Üsleri en küçükleri üssüne yazarız. A ve B ortak olanlar: 3 ve 5 sayısı EBOB (A,B) = 3⁴ . 5²  (üsleri küçükleri aldım) EKOK (A,B) bulunurken bütün çarpanları yazarız. Aynı olan sayıların üssü büyük olanı alırız. EKOK (A,B)  için bütün sayılar:2, 3, 5, 7 EKOK (A,B) = 2³ . 3⁵ . 5⁷ . 7⁵ (üsleri büyük olanlar alındı) [color=red][b]Örnek:[/b][/color] EBOB (x,y) = 4    ve x/y = 3/5 ise x+y=? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] x ve y sayıları 4 ve 4'ün katı olmalıdır. Buna göre: x = 3 . 4 = 12 y = 5 . 4 = 20 x + y = 12 + 20 = 32 olur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] EBOB (x,y) = 3  ve  EKOK (x,y) = 72  ise x+y=? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] x ve 3'ün katı olmalı: Katı: k x'in 3 katı → x = 3 . k y'de3 katı olmalı katı: m y'nin 3 katı: y = 3 . m  (k ve y aralarında asal olmalı) EKOK bulmak için kaçta eşitlendiğini bulmak gerekiyor. x = 3 . k                 }  orak çarpanları  3 . k . m  (k ve m aralarında asal) y = 3 . m EKOK =  3 . k . m olur. (en küçük ortak kat) 72 = 3 . 5 . k . m  →  k . m = 24 olur. k . m = 24 ↓    ↓ 1  24  (aralarında asal) [s]2  12[/s] 3    8  (aralarında asal) [s]4    6[/s] x + y =  3 . k +  3 . m x + y =  3 . 1 + 3 . 24 [b]x + y  = 75[/b] Diğer durum: x + y =  3 . 3 + 3 . 8 [b]x + y  = 33[/b] [color=red][b]Örnek:[/b][/color] EKOK (x,y) = 12 ise kaç farklı (x,y) ikilisi yazılabilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] x ve y 12'yi tam bölen sayılardır. 12 sayısı kaça bölünür? ↓ 1  →    (1, 12) 2  →    (2, 12) 3  →    (3,4), (3, 12) 4  →    (4,3), (4,6), (4,12) 6    →  (6,4), (6,12) 12  →  (12,1), (12,2), (12, 3), (12, 4), (12,6), (12, 12) [color=red][b]15 [/b][/color]tane farklı (x,y) ikilisi yazılabilir. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] 12 litre su, 15 litre süt, 18 litre sirke karışmayacak şekilde [color=blue][b]eş hacimli[/b][/color] en az kaç şişeye doldurulabilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] EBOB ve EKOK sorusu olabilmesi için mutlaka bir şeylerin [color=blue][b]ortak[/b][/color] olması lazım. Eş hacimli şişeler → şişeler ortak Bütünden →  parçaya  gidiş var. EBOB sorusu diyoruz. EBOB (12, 15, 18) = ? bulmalıyım. EBOB (12, 15, 18) = 3 litre  (üçünü aynı anda bölen başka sayı yok) Birimler litre olduğu için EBOB birimide litre olur. Demekki 3 litrelik şişeler kullanmalıyım. su    → 12 : 3 = 4 şişe süt  → 15 : 3 = 5 şişe sirke → 18 : 3 = 6 şişe Toplam şişe sayısı: 4 + 5 + 6 = [color=blue][b]15 [/b][/color]olur.  [color=red][b]Örnek:[/b][/color] 20 cm, 36 cm ve 44 cm lik üç kumaş: 1.) eşit uzunlukta en az kaç parçaya ayrılır? 2.) eşit uzunlukta parçalara ayırmak için en az kaç kesim yapılır? 3.) eşit aralıklarla uçlarınada gelecek şekilde en az kaç düğme dikilebilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Eşit uzunlukta, eşit aralıklarda dediği için özellikler ortak olduğundan EBOB ve EKOK yorumu yapabilirim. 1.) Bütünden parçaya gidilmiş EBOB kullanılır. EBOB (20, 36, 44) = 4 cm (BAŞKA ORTAK BÖLENİ YOK.) 20:4 = [b]5[/b] ;  36:4= [b]9[/b]  ;  44:4 = [b]11[/b]    TOPLAM: 5+9+11 = 25 OLUR. 2.)  Bir bütünü 2 parçaya ayırımak için bir kesim yaparız. Yani bütünü bir kez keserseniz 2 parçaya ayırmış olursunuz. Bir bütünü 2 defa keserseniz 3 parçaya ayırmış olursunuz. O halde; Eşit uzunlukta parçalara ayırmak için en az kaç kesim yaparız. Yani kesim sayısı, parça sayısının bir eksiği olacak. 20:4 = [b]5[/b] ;  36:4= [b]9[/b]  ;  44:4 = [b]11[/b]  5 parçaya ayırmak için : 4 kesim yapmalıyım. 9 parçaya ayırmak için: 8 kesim yapmalıyım. 11 parçaya ayırmak için: 10 kesim yapmalıyım. Toplam kesim sayısı: 4+8+10 = [color=blue][b][b]22 [/b][/b][/color]olur. 3.) Bir bütünü 2 eşit parçaya bölsem uçlarınada gelecek şekilde eşit aralıklar düğme diksem: .__.__.  →  üç düğmeye ihtiyacım olurdu.   ↓  ↓  2 parça 3 düğme Düğme sayısı parça sayısının bir fazlası olacak. O halde: 5 parçaya ayırırsam : 6 düğme dikmeliyim 9 parçaya ayırırsam: 10 düğme dikmeliyim 11 parçaya ayırırsam: 12 düğme Toplam düğme sayısı: 6+10+12 = [color=blue][b]28[/b][/color] [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Eni 20 m boyu 32 m olan dikdörtgen biçimindeki tarlanın: 1.) etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla en az kaç ağaç dikilir? 2.) Kare biçiminde ve eşit büyüklükte en az kaç parsele bölünebilir? 3.) Eş büyüklükte kare parsellere ayrılılıp her bir parselin köşelerine ağaç dikilirse en az kaç ağaç kullanılmış olur. [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 1. Bütünden parçaya gidiliyor, EBOB kullanılır. Dikdörtgenin çevresine ağaç dikeceğimden: Çevre = 2 . (kısa kenar + uzun kenar) Çevre = 2 . (20 + 32) Çevre = 104 olur. Çevreye 4'er metre aralıklar ağaç dikeceğim: 104 : 4 = 26 ağaç dikilir. 2.) Tarlanın içinde işlem yapıyorsam alan kullanırım. Önce tarlanın alanını bulalım: Alan = kısa kenar . uzun kenar Alan = 20 . 32 = 640 Kare parselin alanı: EBOB (20, 32) = 4 m idi. karenin bir kanarı 4 m olmalı. Alan = 4 . 4 = 16 m² Tarlanın alanını karenin alanına bölersek: 640 : 16 = [color=blue][b]40[/b][/color] tane kare parça arazi elde edilir. 3.) 20 cm lik kenara köşelerine ağaç gecek şekilde 4 cm aralıklarla 20 : 4 = 5 parçaya ayırırım. Ağaç sayısı parça sayısının bir fazlası olacak. O halde: kısa kenara 6 ağaç dikilir. Uzun kenar 32 m olduğundan: 32 : 4 = 8 parçaya ayrılır. Ağaç sayısı parça sayısının bir fazlası olacak. O halde: Uzun kenara 9 ağaç dikilir. 9 sıraya 6 ağaç dikildiğinden toplam ağaç sayısı: 9 . 6 =[color=blue][b] 54[/b][/color] ağaç dikilir. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Eni 40 cm boyu 56 cm olan dikdörtgen biçimindeki yüzey kare biçiminde en az kaç fayans ile kaplanabilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Bütünden parçaya gidiliyor. EBOB kullanılır. EBOB (40,56) = 8 cm lik fayanslar kullanılıcak Fayansaın alanı: 8 . 8 = 64 Fayanslar yüzeyin içinde yer aldığı için alanı buluyoruz. Yüzeyin alan: 40 . 56 = 2240 Yüzeyin alanını fayansın alanına bölersem. 2240 : 64 = 35 kare fayans gerekir. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Ebatları 4 cm ve 6 cm olan fayanslarden en az kaç tanesi ile kare biçiminde bir yüzey oluşturulur? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Parçadan bütüne gidiyor. EKOK kullanılır. EKOK (4, 6) = 12 cm Oluşturacağım karenin bir kenarı 12 cm olacak. Fayanslar yüzeyin içinde kaldığına göre ben karenin alanını bulacağım. 12 . 12 = 144 cm² Fayans Parçasının alanı: 4 . 6 = 24 Büyük karenin alanı ile parçanın alanına bölümü: 144 : 24 = [color=blue][b]6[/b][/color] tane parça ile kare yüzey oluşturulur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Ebatları 6 cm, 5 cm ve 10 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta blokların en az kaç tanesi ile içi dolu küp yapılabilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Parçadan bütüne gidiyor. EKOK kullanılır. EKOK (6, 5, 10) = 2 . 3 . 5 = 60 cm Küpün her bir ayrıtı 30 cm olacak. Küp üç boyulu olduğundan hacim kullanılır. Küpün hacmi: 30 . 30 . 30 = 27 000 cm³ olur. dikdörtgenler prizması hacmi: 6 . 5 . 10 = 300 cm³ Küpün hacmi, dikdörtgenler prizmasının hacmine böleriz. 27 000 : 300 = [color=blue][b]90[/b][/color] tane tahta blok ile küp oluşturulur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] k, x ve y birer pozitif tam sayı olduğuna göre k = 6x + 1 =21y + 1  ise k en az kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] k = 6x + 1  → k sayısı, x'în 6 katından 1 fazla ve 21y + 1      → k sayısı,  y'nin 21 katından 1 fazla demek oluyor. Dikkat ederseniz 1'ler ikisinde de ortak. 1 olmasaydı: K hem 6 nın katı hemde 21'in katı olacaktı. Bu yüzden 6'nın ve 21'in ortak katı olduğu için en küçük ortak katını EKOK'unu bulmalıyım. EKOK (6 , 21) = 2 . 3 . 7 = 42 olur. k sayısı, x'în 6 katından 1 fazla olduğundan 1 ekliyorum: k = 42 + 1 = [color=blue][b]43[/b][/color] olur. [color=red][b]Not:[/b][/color] Soruda k 3 basamaklı bir sayı olsaydı: Daha büyük değerler bulmak zorunda kalacaktım. Daha büyük değeri bulmak için en küçük ortak katı 42 nin katlarını alıyorum. 42 . 2 = 84 42 . 3 = 126 3 basamk olduğunda 1 ekliyorum: 126 + 1 = 127 k'nın 3 basamaklı en küçük değeri olurdu. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] k, x y ve z birer pozitif tam sayı olduğuna göre; k = 8x + 5 = 10y + 7 =12z - 3 ise k en az kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] +5, +7 ve -3 sayıları görmezden gelirsem: k sayısı 8, 10 ve 12 sayılarının ortak bir katı oluyor. Bı sayıların EKOK'ini alırsam: EKOK (8, 10, 12) = 2³ . 3 . 5 = 120 Ya aynı sayı eklenir yada kat ile eklenen sayının farkı sabit olur. [color=blue][b]8[/b][/color]x + 5  → 8 - 5 = 3 [color=blue][b]10[/b][/color]y + 7 → 10 - 7 = 3 [color=blue][b]12[/b][/color]z - [color=blue][b]3[/b][/color] → 3 Fark sabit ise EKOK'tan o sayı çıkarılır. O halde k en az: 120 - 3 = [color=blue][b]117[/b][/color] olur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Bir sınıftaki öğrenciler 6 şar sayıldığında 5, 8'er sayıldığında 7 ve 15'er sayıldığında 14 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu 200 ile 300 arasında ise sınıfta en az kaç öğrenci vardır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Sınıf mevcudu K olmak üzere: K = 6x + 5 = 8y + 7 = 15z + 14 şeklinde düşünebiliriz. 6x + 5 →  6 - 5 = 1 8y + 7 = 8  - 7 = 1 15z + 14 = 15 - 14 = 1 Gördüğünüz gibi ortak fark 1 Fark sabit ise EKOK'tan o sayı çıkarılır ve sonuç bulunur. EKOK (6, 8, 15) = 2³ . 3 . 5 = 120 Sınıf mevcudu 200 ile 300 arasında olma şartı var. 120'nin katını alıyorum. 120 . 2 = 240 olur  ortak fark 1 çıkarılırsa: sınıf mevcudu: 240 - 1 = [color=blue][b]239[/b][/color] olur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] üç çalar saat sırasıyla 20 dakika, 35 dakika ve 45 dakikada bir çalıyor. Saatler ilk kez 12:30 da birlikte çaldığına göre 2. kez saat kaçta birlikte çalar? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Brilikte çalabilmeleri için 20, 35 ve 45 sayılarının ortak bir katının bulmama gerekir. O halde EKOK (20, 35, 45) = 2² . 3² . 5 . 7= 1260 dakika 1260 dakika : 60 = 21 saat   12:30   21:00 +______     9:30  (21+3 =24 saat bir gün 12 - 3 = 9 oldu) saat 9:30  da 2. kez birlikte çalarlar. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] Üç trafik ışığı sırasıyla; 2/5, 3/4 ve 1/6 saatte bir yanıyor. Üçü ilk kez 15:20 de birlikte yanarsa 2. kez saat kaçta birlikte yanarlar? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Brilikte yanabilmeleri için sayıların ortak bir katını bulmam gerekir. 2/5, 3/4 ve 1/6  sayılarının EKOK'larını bulurken paydalarına dikkat ediyorum. Paydada 5, 4 ve 6 sayıları var. Aralarında asal olduklarından ortak bölenleri sadece 1 olduğundan paydaları dikkate almıyorum. Sadece payın EKOK'unu buluyorum. EKOK (2, 3, 1) = 6 saat   15:20     6:00 +____   21: 20  de birlikte yanarlar. [img width=300 height=288]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_46_28.png[/img] [img width=300 height=187]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_49_16.png[/img] [img width=300 height=156]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_50_53.png[/img] [img width=300 height=264]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_53_34.png[/img] [img width=215 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_54_54.png[/img] [img width=288 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_57_34.png[/img] [img width=203 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_1_56_07.png[/img] [img width=300 height=276]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_02_43.png[/img] [img width=210 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_05_45.png[/img] [img width=300 height=276]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_07_27.png[/img] [img width=230 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_08_43.png[/img] [img width=263 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_13_26.png[/img] [img width=279 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_43_47.png[/img] [img width=229 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_45_13.png[/img] [img width=194 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_46_30.png[/img] [img width=216 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_47_45.png[/img] [img width=244 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_48_56.png[/img] [img width=215 height=300]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_21_09_16_2_50_57.png[/img]