Konu: Tam kare ifadeler - Çözümlü Sorular

[Ders Hocası]

[color=blue][b]Tam kare ifadelerin açılımı:[/b][/color] (x + y)² = x²  +  [color=blue][b]2[/b][/color]xy  +  y²   ↓    ↓        ↓          ↓        ↓ 1.  2.  1.nin    1. ile 2.    2.nin karesi             karesi  çarpımının                           2 katı [color=blue][b](x - y)² = (x + y)² - 4xy [/b][/color] [color=red][b]Örnek: [/b][/color] (x + 4)²  açılımını yapalım [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] (x + 4)²   ↓    ↓ 1.  2. 1. nin kartesi: x² 1. ile 2.nin çarpımının iki katı: 2.4.x = 8x 2. nin karesi: 4² = 16 [b]Sonuç:[/b] (x + 4)² = x² + 8x + 16 [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] Aşağıdaki ifadeler tam kare midir? • x² - 6x + 9 • x² - 8x + 16 • x² + 10x + 25 • x² + 12x + 36 [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] x² - 6x + 9 = (x -3)²  tam karedir.         ↓    ↓     2.[color=blue][b]3[/b][/color]x  [color=blue][b]3[/b][/color]² x² - 8x + 16 = (x - 4)²  tam karedir.         ↓    ↓     2.4x  4² x² + 10x + 25 = (x + 5)²  tam karedir.         ↓        ↓       2.5x    5² x² + 12x + 36 = (x + 6)² tam karedir.         ↓        ↓       2.6x    6² [color=red][b]Örnek: [/b][/color] x² - 6x + k  ifadesi bir tam kare ise k nedir? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] x² -  6x  +  k  ifadesi bir tam kare ise         ↓        ↓       2.3x    3²     iki katı    k = 3² = [color=blue][b]9[/b][/color] olur.     olmalı [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] x²  - 14x + m - 1  ifadesi bir tam kare ise m nedir? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] x² -  14x  - m - 1  ifadesi bir tam kare ise         ↓          ↓       2.7x      7²                 m - 1 = 49                       [color=red][b]m = 50[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] 9x²  + 12x + a  ifadesi bir tam kare ise a nedir? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] 9x²  + 12x + a  ifadesi bir tam kare ise   ↓          ↓      ([color=red][b]3x[/b][/color])²    2 . [color=blue][b]2[/b][/color] . [color=red][b]3x[/b][/color]             ↓ formüldeki iki katı    a =  2² = [color=purple][b]4[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] a² + b² = 10  a . b = 3 ise  a + b = ? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] (a  + b)² = [color=blue][b]a²[/b][/color] + 2ab + [color=blue]b²[/color] [color=red][b](a  + b)² - 2ab = a² + b²[/b][/color]  olur. a² + b² = 10  a . b = 3 verilenleri yerine koyarsak: (a  + b)² - 2.3 = 10 (a  + b)² = 16 [color=blue][b]a  + b = 4[/b][/color] olur [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] a  + b = 5 a . b = 9 ise  a²  + b² = ? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] [color=red][b](a  + b)² - 2ab = a² + b²[/b][/color] 5² - 2 .9 = a² + b² 25 - 18 = a² + b²           7 = a² + b² [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] a + b = 7 a²  + b² = 25  ise a . b = ? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] (a  + b)² = [color=blue][b]a²[/b][/color] + 2ab + [color=blue]b²[/color]     7²    = 25 . 2 . a . b 49 - 25 = 2.  a . b       24 = 2. a . b       [color=blue][b]12 = a . b[/b][/color] [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] a + 1/a = 7 ise  a² + 1/a² = ? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] (a + 1/a)² = a² + 2 + 1²/a²           7² = a² + 2 + 1/a²     49 - 2 = a² + 1/a²           47 = a² + 1/a² [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] a = 748 b = 739 iken (a + b)² - 4ab = ? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color]       (a - b)² = (a+b)² - 4ab (748 - 739)² = (a+b)² - 4ab               9² = (a+b)² - 4ab               81 = (a+b)² - 4ab [img width=300 height=242]http://www.uyanangenclik.com/gallery/530_29_01_15_8_53_09.jpeg[/img] [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] x² - 12x + 40 ifadesinin en küçük değeri nedir?             [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] En küçük alabileceği değer isteniyorsa, İfade tam kareye benzetilir. x² ≥ 0  bir tam karenin en küçük değeri sıfır olacağından Bu denklemi tam kare şeklinde yazmalıyım. x² - 12x + 40 ↓        ↓    x      2. [color=blue][b]6[/b][/color]x        x          (x - 6)²  + 4      →  (40 - 6² = 4 olduğundan)                 ↓ ifadesi sıfır olacağından ifadesinin en küçük değeri [color=blue][b]4[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] x² + 10x + 21 ifadesinin en küçük değeri nedir?             [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] x² + 10x + 21 ↓        ↓ x      2.5x  → ( x + 5 )² - 4 x              en küçük değer [color=blue][b]- 4[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] x² + y² - 6x + 14y + 100 ifadesinin en küçük değeri nedir?             [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] [color=red][b]x²[/b][/color] + [color=blue][b]y²[/b][/color] - [color=red][b]6x[/b][/color] + [color=blue][b]14y[/b][/color] + 100 ifadesinde x ve y ayrı düşünülür. x² - 6x    ve  y² + 14y  şeklinde; ↓    ↓            ↓        ↓ x  2.3x          y      2. 7x x                    y (x - 3)² + (y + 7)² + 42       ↓              ↓        ↓ 3² =9      7² = 49     49 + 9 = 58  ise  (100 - 58 = 42)           ifadesinin en küçük değeri [color=blue][b] 42[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek: [/b][/color] x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0  ise x . y nedir? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] [color=blue][b]x²[/b][/color] + [color=red][b]y²[/b][/color] + [color=blue][b]6x[/b][/color] [color=red][b]- 4y[/b][/color] + 13 = 0 ifadesinde x ve y ayrı düşünülür. x² + 6x    ve    y² - 4y         ↓                    ↓       2.3x                2.2y (x + 3)² + (y - 2)²  + 0 = 0         ↓              ↓        ↓         9            4  (9 + 4 = 13) x + 3 = 0        ve  y - 2 = 0       x = -3                  y = 2 x . y = -3 . 2 =[color=purple][b] - 6[/b][/color] olur.