Konu: İkinci Dereceden Denklemler - Çözümlü Sorular

[Ders Hocası]

a, b, c Gerçek sayı iken  a ≠ 0 iken; [color=blue][b]ax[color=red]²[/color] + bx + c[/b][/color] ifadesine [color=red][b]ikinci derecen bir bilinmeyenli denklem[/b][/color] denir. [color=red][b]İkinci derecen denklemlerin çözümünde kullanılan yöntemler:[/b][/color] • Çarpanlara ayırma • Çarpanlara ayrılmıyorsa; Diskriminat Yöntemi (Δ) ax² + bx + c denkleminde a, b, c katsayıları bulunur. Aşağıdaki formülde yerlerine yazılır. [color=red][b]Δ = b² - 4ac[/b][/color] [color=red][b]Örnekler:[/b][/color] Aşağıdakilerin ikinci dereceden denkem olup olmadıklarını inceleyelim. • 2x + 5/2 = 1  → Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. • x² + 2 = y²  → İkinci dereceden 2 bilinmeyenli (x ve y) denklemdir. • x + 3² = 0    → 3² sizi yanıltmasın. Bilinmeyenin derecesi (²) olacak)                           Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. • x² - 1 = 0      → kuvveti (²) olan ifade olduğundan                           İkinci dereceden 1 bilinmeyenli (x) denklemdir. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] (m - 2) x³ + x” - ¹ + 5x + 1 = 0 denklemi x'e bağlı ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre m + n kaçtır? [color=red][b]Çözüm:[/b][/color] ikinci derecen olduğu için x³ ifadesinin olmamaso gerekir. Varsa çarpanı sıfır olmalıdır. (m - 2) x³     ↓     0 olmalı O halde; m - 2 = 0                     [color=blue][b] m = 2[/b][/color] olur. x” - ¹ ifadesinde üs (²) olmalıdır. o halde;             n - 1 = 2                   [color=blue][b]n = 3[/b][/color] olur. m + n = 2 + 3 = [color=purple][b]5[/b][/color] olur. [color=red][b]Örnek:[/b][/color] x²  + 4x + 3 ifadesinin çarpanlarını bulalım. [color=red][b]Çözüm: [/b][/color] x²  +  [u][color=blue][b]4[/b][/color]x[/u] + [u][color=red]3[/color] [/u] =   (x + 3) (x + 1)   [color=blue]toplam[/color]  [color=red][b]çarpım[/b][/color] ↓              ↓ x              + 3 x              + 1  [color=blue][b]Örnek:[/b][/color] x²  + 5x + 6 ifadesinin çarpanlarını bulalım. [color=blue][b]Çözüm: [/b][/color] x²  + 5x + 6    = (x + 3) . (x + 2) ↓              ↓ x              +3 x              +2 [color=red][b]Örnek:[/b][/color] x²  - 7x + 12 ifadesinin çarpanlarını bulalım. [color=red][b]Çözüm: [/b][/color] x²  - 7x + 12  = (x - 4) . (x - 3) ↓              ↓ x            - 4 x            - 3 [color=blue][b]Örnek:[/b][/color] x²  - 8x - 9 ifadesinin çarpanlarını bulalım. [color=blue][b]Çözüm: [/b][/color] x²  - 8x - 9  = (x - 9) . (x + 1) ↓            ↓ x          - 9 x          + 1 [color=red][b]Örnek:[/b][/color] x²  - 8x + 15 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir? [color=red][b]Çözüm: [/b][/color] x²  - 8x + 15 = 0  ⇒  (x - 3) . (x - 5) = 0 ↓              ↓ x            - 3              x - 3 = 0  ve x - 5 = 0 x            - 5              x = 3                x = 5                                 Ç.k = ｛3, 5 ｝ [color=blue][b]Örnek:[/b][/color] 2x² + 11x + 12 denkleminin çarpanlarını bulunuz? [color=blue][b]Çözüm: [/b][/color] 2x² + 11x + 12  =  (2x + 3) . (x + 4) olur. ↓                  ↓      çapraz çarpımları toplamı orta terim (11x) olmalı 2x      →        3      2x . 4 + x . 3 = 11 x           ╳                kontrolden sonra karşılıklı ifadelerin çarpımı yazılır.   x      →        4      (2x + 3) . (x + 4)  [color=blue][b]Örnek:[/b][/color] 3x² + 5x + 2 denkleminin çarpanlarını bulunuz? [color=blue][b]Çözüm: [/b][/color] 3x² + 5x + 2  = (x + 1) . (3x + 2) ↓              ↓ 3x    →      2        çapraz çarpımları toplamı orta terim (5x) olmalı           ╳              3x + 2x = 5x      x    →      1          [color=red][b]Örnek:[/b][/color] 6x² - x - 1 denkleminin çarpanlarını bulunuz? [color=blue][b]Çözüm: [/b][/color] 6x² - x - 1  = (3x + 1) . ( 2x - 1) ↓          ↓ 3x  →  +1      çapraz çarpımları toplamı orta terim (-x) olmalı       ╳            - 3x + 2x = - x    2x    →  -1  [size=14pt][color=red][b]Not: [/b][/color][/size]  [color=blue][b]ax[color=red]²[/color] + bx + c = 0[/b][/color] ifadesinde; kökleri x1 ve x2 olsun; [b]Kökleri toplamı:[/b] [color=blue][b]x1 + x2 = - b / a[/b][/color] olur. Kökleri çarpımı: [color=blue][b]x1 . x2 = c / a[/b][/color] olur. [color=blue][b]Örnek:[/b][/color] 2x² + 3x - 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. buna göre; (x1 + x2) - (x1 . x2) değeri kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 2x² + 3x - 4 = 0 olduğundan; x1 + x2 = - b / a  ise: x1 + x2 = - 3 /2 olur. x1 . x2 = c / a olduğundan; x1 . x2 = -4 / 2 = -2 olur. (x1 + x2) - (x1 . x2) = -3/2 - (-2)                               = - 3/2 + 2 (x1 + x2) - (x1 . x2) = [color=purple][b]1 / 2[/b][/color] olur.