[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 1212121212 → bu 10 basamaklı sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz. 1+2+1+2+1+2+1+2+1+2 = 15 olur. 15 in 9 ile bölümünden pratik olarak rakamları toplamı: 1 + 5 = 6 olur. Yada 15'i dokuza bölün kalan 6 olacaktır.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 37 basamaklı 4444.....4 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz. Bu durumda bu sayının rakamları toplamı: 37 . 4 = 148 → (8+1=9) bu sayının 9'a bölümünden kalan [color=purple][b]4[/b][/color] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 123123...123 → bu sayı 36 basamaklı olduğuna göre 9 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar toplamını 9'a bölüyoruz. Bu durumda bu sayının rakamları toplamı: 123 → devreden 3 sayımız var. 36 basamak olduğundan; 36 : 3 = 12 tane 123 var diyebiliriz. 1+2+3 toplamı: 6 olduğundan 12 tane 123 toplamını bulacak olursak: 12 . 6 = 72 olur. 72 nin 9 ile bölümünden kalan: 7 + 2 = 9 olduğundan kalan 0 olur.
[color=red][b]NOT:[/b][/color] A'nın X ile bölümünden kalan M ve B'nin X ile bölümünden kalan N ise ; A + B A - B A . B 2A + 3B .... Gibi işlemlerin X ile bölümünden kalan kalan nedir? [color=red][b]Çözüm Yolu:[/b][/color] Bu gibi sorularda A gördüğümüz yere kalan M'yi, B gördüğünüz yerede kalan N'yi yazın. A + B → M + N A - B → M - N A . B → M . N 2A + 3B → 2 . M + 3 . N Bu sayıların X ile blümünden kalan bize sonucu verir.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] A'nın 9 ile bölümünden kalan 5'tir. B'nin ise 9 ile bölümünden kalan 3'tür. A² + 4B nin 9 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] A gördüğümüz yere: 5 B gördğimiz yere 3 yazıyoruz. A² + 4B = 5² + 4 . 3 = 25 + 12 = 37 37 sayısının 9 ile bölümünden kalan: Rakamları toplamı: 10 olur. 10 'un 9 ile blümünden kalan [color=blue][b]1[/b][/color] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 1997 . 2003 + 2012 . 1579 işleminin sonucunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
[color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 5 ile bölünebilmede kalanı bulmak için bir'ler basamağını düşünüyorum. 5 ile tam bölünebilmesi için, birler basamağı 0 veye 5 olmalı. Birler basamağı 5'ten büyük bir rakam ise; o rakamdan 5 çıkarılır. 199[color=blue][b]7[/b][/color] → 7 - 5 = [color=red][b]2[/b][/color] olur. (5 ile bölümünden kalan 2) 200[color=blue][b]3[/b][/color] → [color=red][b]3[/b][/color] (5 ile bölümünden kalan 3) 201[color=blue][b]2[/b][/color] → [color=red][b]2[/b][/color] 1579 → 9 - 5 = [color=red][b]4 [/b][/color]
Buna göre işlemi düzenlersek: 1997 . 2003 + 2012 . 1579 2 . 3 + 2 . 4 = 6 + 8 = 1[color=blue][b]4[/b][/color] bu sayınında 5 ile bölümünden kalan 4'dir.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 3X4Y → dört basamaklı doğal sayısı, 5 ile kalansız bölünmekte, 3 ile bölümünden kalan ise 1 olmaktadır. X'in alabileceği kaç farklı değer vardır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Eğer aynı anda birden fazla bölünebilme kuralı birlikte veriliyorsa,sayıların kurallarına dikkat edilir. 5'in kuralı → sadece 1'ler basamağı var. 3X40 veya 3X45 olmalı 3'ün kuralı → Bütün rakamlar var. Basamak değerleri toplamı 3'ün katı olmalı. Kalan 1 sonra ilave edilmeli. Buna göre: 3' ile bölünebilmesi için rakamları topmaı 3 ve katı olmalı: 3 X 4 0 3 X 4 5 ↓ ↓ 2 0 5 3 8 6 9
Kalan 1 olduğu için bu sayılara 1 ilave edersem: 3 X 4 0 → x in alacağı değerler: 0, 3, 6, 9 olur. 3 X 4 5 → x in alacağı değerler: 1, 4, 7 olur X'in alabileceği farklı değer sayısı : 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9 → [color=blue][b]7[/b][/color] olur.
[color=red][b]Not:[/b][/color] 34a52 sayı 5 basamaklı bir doğal sayıdır. 3 ile kalansız bölünebildiğine göre bilgisi verilmişse; 3 ile bölünebilmede rakamlar toplamı 3 ve 3'ün katı olacağından 3'ü görmezden gelebilirim. 5 + 4 = 9 olacağından buda görmezden gelinir. Geriye a iile 2 kaldı. O halde a = 1 olur diyebilirim. a'nın alacağı değerler: 1, 4, 7 olur. (3'er artarak gittiğine dikkat edin)
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 52a4 sayısı dört basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 4 ile kalansız böünebilmektedir. a kaç farklı değer alır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 4 ile bölünebilme kuralı: son iki basamağa bakılır. 4'ün katı olmalıdır. 52[color=blue][b]a4[/b][/color] → 04, 24, 44, 64, 84, (4'ün katı olduğu için çift değerler verildiğine dikkat edin) a'nın alacagğı değerler: 0, 2, 4, 6, 8 → 5 tanedir.
[color=red][b]Not:[/b][/color] 13[color=blue][b]a6[/b][/color] 4 ile kalansız böünebiliyosa, a'nın alacağı değerler: Son iki basamağa bakıyorum 4'ün katı olmadığından; a6 → 16, 36, 56, 76, 96 şeklinde olurdu. a nın alacağı değerler → 1, 3, 5, 7, 9 olur. (4'ün katı olmadığı için tek değerler verildiğine dikkat edin)
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 573a sayısı 4 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 4 ile kalansız bölünebildiğien göre, a nın alacağı değerler toplamı kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 5 7 [color=blue][b]3 [/b][/color]a → son iki basamak 4 ve 4'ün katı olacağından: ↓ 2 6 a'nın alacağı değerler toplamı: 3 + 6 = [color=blue][b]9[/b][/color] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 578a sayısı 4 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 4 ile kalansız bölünebildiğien göre, a nın alacağı değerler kaç tanedir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] 5 7 8 a ↓ 0 4 8 a'nın alacağı değerler: 0, 4, 8 → 3 tanedir.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 7a3261 sayısı 6 basamaklı bir doğal sayıdır. Bu sayı 9 ile kalansız bölünebildiğiden göre, a nın alacağı değerler kaç tanedir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Bu sayı 9 ile kalansız bölünebildiğiden rakamları toplamı 9 ve 9'un katıdır. O halde 9 toplamları görmezden gelinir. 7 + 2 = 9 ve 6 + 3 = 9 Geriye kalanlar a ve 1 oldu a + 1 = 9 ve katı olacağından ↓ 8 a nın alacağı değer sadece [color=blue][b]8 [/b][/color]dir.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] a doğal sayısının 19 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, a⁵ + 17 sayısının 19 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] "a" yerine a'nın 19 ile bölümünden kalanını yazarsak: a⁵ + 17 → 3⁵ + 17 = 243 + 17 = 260 260 : 19 işlemini çözersek kalan [color=red][b]13[/b][/color] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 4x5y sayısı 12 ile kalansız bölünebildiğine göre x'in alabileceği kaç farklı değer vardır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Bir sayının 12 ile kalansız bölünebilmesi için 3 ve 4 ile kalansız bölünmesi gerekir. 4 ile bölünebilmeye bakalım. Son iki basamağa bakıyoruz. 4X5y ↓ 2 → 4x52 6 → 4x56 olur. 3 ile bölünebilmede rakamları toplamına bakıyoruz. 3 ve 3'ün katı olmalı. 4x52 → 4+2 = 6 olduğundan (4 ve 2 görmezden gelinir) ↓ 1 (1 + 5=6) 4 7 (x'in alabileceği burada 3 değer var)
4x56 (5 + 4 = 9 ; 6 görmezden geliinir) ↓ 0 3 6 9 (x'in alabileceği burada 4 değer var) X'in alabileceği toplam değerler: 3 + 4 = [b]7[/b] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 5a2b → dört basanmaklı doğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 1'dir. Buna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Bu sayının 36 ile bölünebilmesi için 4 ve 9 ile bölünebilmesi gerekir. (9 . 4 = 36 aralarında asal) Daha az basamak isteyenden başlanır. 4 ile bölünebilmeye bakalım. Son iki basamağa bakıyoruz. 4 ve 4'ün katı olmalı: 5a2b → son 2 basamağa bakarsak: 2b → (0, 4, 8) olur. Kalan bir olduğundan 1 arttıralım. ↓ 1 5 9 9 ile bölünebilmesi için; rakamları toplamı 9 ve katı omalı. 5a21 → 5+2+1 = 8 ise 9 bölününmesi için 1 olur. 1 kalan olacağından: ↓ 2
5a25 → 5+2+5 = 12 ise 9 bölününmesi için 6 olur. 1 kalan olacağından: ↓ 7 5a29 → 5+2= 7 ise 9 bölününmesi için 2 olur. 1 kalan olacağından ↓ 3 o halde a'nın alacağı değerler toplamı: 2+7+3 = 12 olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 3x4y sayısı 15 ile bölümünden kalan 8'dir. x'in alabileceği kaç farklı değer vardır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Normalde 15 ile bölümden kalan 8 olması normal ama; 15 in bölünebilme kuralı 3 ve 5 ile bölünebilir olması gerektiğinden 8 kalan fazla olur. Bu sayının 5 ile bölünebilme durumuna bakalım. Kalan 8'i 5'e bölersem kalan 3 olacaktır. 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalı: 3x4y → (y=0 ve y=5 olursa tam bölünür. Ama kalan 3 olacağından) ↓ 0+3=5 ve 5+3 = 8 olur. 3 8 3 ile bölünebilmesi için kalan 3 ve 3 ten küçük olmalı 8 : 3 işleminde kalan 2 olacaktır. 3x43 → (x + 4 işleminde x = 2 ve x = 5 olursa 3 'e tam bölünür. Ama kalan 2 olacağından) ↓ 2, 5, 8 tam bölünür. 1 (3"er 3'er arttığından geriye 1 yazmayı unutmayın.) 4 7 [s] 10[/s] (rakam olmadığından olamaz) 3x48 → 8 + 4 = 12 ve 3 katı olduğundan göz ardı edilir, ↓ 0, 3, 6, 9 tam bölünür kalan 2 olacağında 2 ile toplarsak: 2 5 8 [s] 11 [/s]olmaz. X'in alabileceği değerler: 1, 4, 7, 2, 5, 8 olmak üzere 6 tanedir.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 7a3b sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir. 9a1b sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] a ve b sayıları aynı basamakta yer aldıklarından diğer sayıların farkı sabittir. 9a1b → aynı basamaktaki sayıları değersiz yapmak için b= 0 ve a = 0 alıyoruz. 9010 7030 -______ 1 9 8 0 aradaki farkı 1980 : 7'e bölersek kalan: 6 olur.
7'ye bölümlerinde kalnı toplarsak (7a3b) + (1980) = (7a3b) 1 6 7 (7 bölümden kalan 7 olması mümkün değil) 7 : 7 işleminde kalan [color=blue][b]0[/b][/color] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] x ve y birer pozitif tamsayı olmak üzere, (8x + 4) . (8y + 10) çarpımının 16 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] x = 0 ve y = 1 olsun. Buna göre çözelim. (8x + 4) . (8y + 10) = (8.0 + 4) . (8.1 + 10 ) = 4 . 18 = 72 72 sayısını 16'ya bölersek kalan [color=blue][b]8[/b][/color] bulunur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] a = 1979 ve b = 1543 doğal sayılalarıdır. a.b çarpımını 9 ile bölümünden kalan kaçtır? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] sayıların ayrı ayrı 9 ile bökümünden kalanına bakalım. 1979 → rakamları toplamı 9 ve 9'un katı olanlar görmezlikten gelinir. 1979 → 8 (9 ile bölümünden kalan)
1543 → (1+5+3=9) (9 ile bölümünden kalan) → 4 a . b = 8. 4 = 32 32 sayısının 9 ile bölümünden kalan [b]5[/b] olur.
[color=red][b]Örnek:[/b][/color] 8x3y dört basamaklı bir sayıdır. Bir kişi 8x3y'yi her gün eşit miktarda harcayarak 15 günde bitiriyor. Buna göre bu kişi bir günde en çok kaç lira harcayabilir? [color=blue][b]Çözüm:[/b][/color] Bu sayı 15 günde bittiğinden 15 ile tam bölünebilmelidir. 15 ile bölünebilmesi için 3 ve 5 ile bölünmesi gerekir. 5 ile bölünebilme kuralına göre: birler basmağı 0 veya 5 olmalı 8x3y ve 8x3y olmalı. ↓ ↓ 0 5 (y'nin alabileceği en büyük değer)8 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ve katı olmalı. 8x30 → (3 ve 0 gözardı edilir) ↓ 1 4 7 [s] 10[/s]
8x35 → (3 gözardı edilir 8+3+5 = 16) ↓ 2 5 8 (x'in alacağı en büyük değer) sayımız en büyük değerde olmalı 8x3y → 8835 olur. Bir günde harcaması: 8835 : 15 = 589 lira en çok harcar.
|